510 ДИНАМИКА СИСТЕМЫ [Ч. V
Это есть теорема площадей (в интегральной форме), которую можно формулировать так: если система может поворачиваться около некоторой оси а если внешние силы, действующие на систему, дают равнодействующую, проходящую через ось вращения, (или параллельную этой оси], то сумма произведений масс точек на площади секторов, описываемых их проекциями на плоскости, перпендикулярной к оси вращения, изменяется пропорционально времени.
Распространим сказанное на тот случай, когда система может вращаться около всех трех осей, т. е. около начала координат. Таким свойством может обладать, например, совершенно свободная система или система с одной неподвижной точкой. Напишем для такой системы основное уравнение динамики
и ваменим в нем 8л;, 8у, 80 их значениями при помощи формул Эйлера (28) через 8<р, 8ф и 86, где 8<р, 8ф и 89 - бесконечно малые углы поворота около осей координат. Заметив, что перемещения двухсторонни, по подстановке значений 8л:, 8 у> & пишем во второй части уравнения Лагранжа нуль. Имеем:
Раскрыв скобки и отбирая коэффициенты при 8 Так как 8ср, 8ф, 89 совершенно произвольны, то коэффициенты при них должны быть равны нулю. Следовательно:
(32)
-о ) =2.