Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Якоби К.N. Лекции по динамике
 
djvu / html
 

интегралы, из дифференцирования которых проистекают уравнения, обращающиеся нри использовании данных дифференциальных уравнений тождественно в нуль, - новый принцип дает последний интеграл в предположении, что предыдущие интегралы известны. Именно, если сделать предположение, что задача механики свелась к дифференциальному уравнению первого порядка с двумя переменными, то, согласно с этим принципом, можно найти множитель этого уравнения.
Таким образом в тех случаях, когда остальные принципы сводят задачу к дифференциальному уравнению первого порядка, новый принцип решает ее полностью. Сюда принадлеждт задача притяжения точки неподвижные центром, причем закон притяжения произволен; далее следует притяжение к двум неподвижным центрам, в предположении, что имеет место притяжение по закону Ньютона, и наконец, вращение вокруг точки тела, не подверженного действию внешних сил. При притяжении к двум неподвижным центрам, кроме применения старых принципов, совершенно необходим еще интеграл, найденный Эйлером особым искусственным приемом; при помощи этого интеграла задача сводится к дифференциальному уравнению первого порядка с двумя переменными. Но это уравнение крайне сложно и его интегрирование есть одно из величайших мастерских творений Эйлера. При помопщ нового принципа множитель этого уравнения получается сам собой.
Особенно надо отметить те классы задач, для которых одновременно имеют место принцип живой силы и принцип наименьшего действия. Гамильтон заметил, что в этом случае задача может быть сведена к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Если найдено одно его полное решение, то получаются тотчас все интегральные уравнения. Функцию, определенную этим дифференциальным уравнением в частных производных, Гамильтон называет характеристической функцией.
Прекрасное соотношение, найденное Гамильтоном, было несколько недоступно и туманно, вследствие того, что он свою характеристическую функцию заставил зависеть еще от второго дифференциального уравнении в частных производных. Присоединение этого условия усложняет ненужным образом все открытие, так как более точное исследование показывает, что второе дифференциальное уравнение в частных производных совершенно излишне.
Мы введем для определенности следующие термины: интегралы обыкновенных дифференциальных уравнений мы будем называть интегралами или интегральными уравнениями, интегралы же уравнений в частных производных- решениями. Далее, для системы дифференциальных уравнений мы будем различать интегралы и интегральные уравнения. Интегралами пусть будут те первые интегралы, которые имеют форму: функция от координат и их производных равна постоянной, и ее производная при использовании данной системы дифференциальных уравнений обращается тождественно в нуль без помощи других интегралов; интегральными уравнениями называются все остальные интегралы. Таким образом принципы живой силы к площадей дают в этом смысле интегралы, а не интегральные уравнения.
Благодаря открытию Гамильтона система интегральных уравнении задач механики получила замечательную форму. Именно, если характеристическую функцию дифференцировать по произвольным постоянным, которые она содержит, то получатся интегральные уравнения данной системы дифференциальных уравнений. Это аналогично теореме Лагранжа, согласно которой дифференциальные уравнения задачи в том случае, когда имеет место принцип наименьшего действия, могут быть представлены как частные производные одной величины. Однако, Гамильтон хотя и установил ту форму интегральных уравнений, о которой идет речь и которую эти уравнения

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270


Гидродинамика и газодинамика. Промышленное оборудование - насосы, компрессоры. Справочники, статьи